Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la … Encore une fois on peut combiner avec les cas particuliers précédents. Une diagonalisation possible est : T En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. {\displaystyle u_{i}} Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. 0 —, On retrouve ici le fait que le vecteur X doit être non nul…. ⇔ On peut donc dire que le sous-espace propre contient l’ensemble des vecteurs propres ainsi que le vecteur nul. E Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. 3 Question 2 Soit , montrer que est diagonalisable. C'est le processus de diagonalisation. − 2 = La diagonalisation des matrices est en effet très courante dans les exercices ou les sujets portant sur les matrices. avec polynôme caractéristique scindé et recherche de la matrice de passage P et de son inverse , avec = 2 P(x) = (x – 5)2(x – 7)4(x2 + 2x + 7)(x2 + 3x + 5) Les valeurs propres de M sont les racines de son polynôme caractéristique : avec . , Comme on est dans un espace de dimension 3, on sait d’après le cours sur la géométrie dans l’espace qu’il s’agit d’un plan (de vecteur normal (1 ; 0 ; 1)) : c’est donc un espace de dimension 2 ! (en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010 (ISBN 978-3-64205154-8). Tous ces vecteurs propres sont rassemblés dans un espace vectoriel appelé sous-espace propre et noté Eλ. Si nous voulons diagonaliser A, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. A — Attention, si on a (λ – 7), la racine est 7, si on a (λ + 8), la racine est -8… {\displaystyle E_{-3}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\right\}}. On pourrait montrer que les vecteurs X et Y suivants forment une base de E4 : De même, le vecteur Z suivant forme une base de E2 : On a alors deux possibilités : ) —. PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. M – λ Id correspond à la matrice M avec des – λ sur la diagonale. ⁡ 1 Il faut donc prendre deux vecteurs LIBRES vérifiant cette équation, par exemple : Il est assez évident que X et Y sont libres. Comme tu le vois, rien de compliqué, il faut garder le même ordre pour P et pour D : Bien sûr il y a plusieurs possibilités pour P et D : si on change l’ordre des vecteurs de P, on change l’ordre des coefficients diagonaux de D. Tout ce que l’on a vu jusqu’à présent est valable si M a n valeurs propres distinctes. Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. ( ( Pour les trouver on va utiliser la résolution du système précédent, on avait trouvé z = -x. ( Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). Si une matrice M non diagonale a une unique valeur propre, alors elle n’est pas diagonalisable. 2) V eri er que la matrice D= P 1APest une matrice diagonale. {\displaystyle I} Soit M2M Quelques applications de la diagonalisation 1. { Comme base il ne faut donc qu’un seul vecteur vérifiant e système, on prend par exemple : A partir de cela, on peut former la matrice diagonale D ainsi que la matrice de passage P à partir des bases trouvées, à savoir les vecteurs X, Y et Z : Comme les deux premiers vecteurs appartiennent à E4, les deux premiers coefficients de D seront 4, et comme le troisième vecteur appartient à E2, le 3ème coefficient de D sera 2 : Le schéma ci-dessous représente la correspondance entre les colonnes de P et les coefficients de D : On aurait très bien pu mettre Z en premier puis X et Y dans P, mais alors l’ordre des coefficients de D aurait changé : Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation Plan du cours 1 Eléments propres d'un endomorphisme 2 Polynôme caractéristique d'une matrice 3 Diagonalisation d'une matrice Diagonaliser une matrice diagonalisable Conditions de diagonalisabilité Exemples 4 Applications de la diagonalisation Puissance d'une matrice diagonalisable Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles, la matrice est diagonalisable et il existe une matrice de vecteurs propres unitaire, à savoir telle que . 0 Comme dim(E4) = 2, une base de E4 sera composée de 2 vecteur libres. Il y a par exemple : On vérifie facilement que Avec la commande rbind(), on associe plusieurs vecteurs, chaque vecteur étant une ligne du tableau. 0 T.S.V.P → Est-elle diagonalisable ? Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la diagonalisation de matrices ! Le cas particulier que nous allons voir se retrouve souvent en exercice, et on demande souvent à le redémontrer. – soit le polynôme caractéristique n’est pas scindé, et alors la matrice n’est pas diagonalisable | D’après ce que l’on vient de voir, cette matrice n’est diagonalisable que si le sous-espace propre associé est de dimension n. 2) S’il n’est pas scindé, la matrice n’est pas diagonalisable. ⁡ Puissance d’une matrice semblable. — Ainsi, si on a une matrice M quelconque (non diagonale) et qu’après calcul on trouve qu’elle n’a qu’une seule valeur propre, pas besoin de chercher les vecteurs propres, il suffit d’utiliser la propriété précédente pour dire qu’elle n’est pas diagonalisable. 2 La matrice, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients complexes (qui sont toutes, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients réels trigonalisables sur ℝ (c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres —. Pour diagonaliser A = 5 −3 6 −4 , on fabrique d’abord deux nouvelles matrices A−2Id et A−(−1)Id et on détermine pour chacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs 2,−1 sont les racines de l’équation det(A−λId)=0 ) : diagonaliser A 5 −3 6 −4 det(A−λId)=0 λ = 2 ւ ց−1. —, Pour l’exemple ci-dessus, on pourrait montrer facilement que det(A – λ Id) = (λ – 3)(λ + 1). Ainsi, en trouvant les racines du polynôme caractéristique, on trouve les valeurs propres ! − —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2.1. En revanche, (λ2 + 2λ + 9)(λ + 5) n’est pas scindé car on ne peut pas factoriser λ2 + 2λ + 9 (en tout cas dans les réels, car son Δ est strictement négatif). Ce polynôme, dont la variable est λ, est noté χM(λ) (χ est la lettre grecque chi), et est défini par. On a alors la propriété suivante extrêmement importante : — Ici la variable du polynôme caractéristique étant λ on factorisera le polynôme par (λ – a). Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. Autre propriété importante : la dimension d’un sous-espace propre est au moins égale à 1 (puisqu’il y a au moins un vecteur propre non nul), et au plus égale à la multiplicité de la valeur propre : Conséquence : si multiplicité d’une racine est 1, son sous-espace propre est obligatoirement de dimension 1 (c’est le cas le plus simple, si la multiplicité n’est pas 1 il va falloir calculer la dimension du sous-espace propre…). v Si une matrice A est symétrique et réelle, alors elle est diagonalisable. ∈ Mais dans , x2 + 2x + 7 et x2 + 3x + 5 ont des racines complexes et sont donc factorisables : le polynôme est alors scindé dans ! ATTENTION il faut que les coefficients de la matrice soient réels !!! d'endomorphismes d'un espace E est simultanément diagonalisable, c'est-à-dire s'il existe une base de E propre pour tous les 3 | Par exemple : A est diagonalisable sur ⇔ son polynôme caractéristique est scindé sur et pour chaque valeur propre λ de A, m(λ) = dim(Eλ). La plupart du temps, le sous-espace propre sera de dimension 1 ou 2. Espace propre associ e a une valeur propre 13 … Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. —. 3 − . ) {\displaystyle \chi _{A}(T)=\operatorname {det} (TI_{3}-A)={\begin{vmatrix}T&-3&1\\-2&T+1&-1\\0&0&T-2\end{vmatrix}}=(T-2)^{2}(T+3)} Il n’y a donc pas d’intérêt à la diagonaliser puisqu’elle est déjà diagonale !!! Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique Il n’y a donc qu’une seule valeur propre, mais A n’est pas égal à 8 Id donc A n’est pas diagonalisable. 2 ⇔ 11 4.3. 1 x Si la multiplicité est supérieure à 1 : il faut calculer la dimension du sous-espace propre : ∈ ATTENTION à ne pas oublier le α !!! x Nous allons voir dans ce chapitre une des principales applications des matrices : la diagonalisation. On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. Introduction La dernière modification de cette page a été faite le 18 juin 2020 à 02:12. Un polynômes est dit scindé sur le corps s’il peut s’écrire sous forme d’un produit de polynômes de degré 1 : 2 Cela signifie que : — On a bien : 3 0 {\displaystyle u_{i}} (qui est le coefficient dominant) Nous allons donc étudier le cas où le polynôme est scindé. = − 0 1 dim T Les éléments propres sont les valeurs propres, les vecteurs propres et les sous-espaces propres associés aux valeurs propres.. Une valeur propre est un scalaire (souvent un réel) : elle est souvent notée λ. Comme tu le vois, trouver la dimension d’un sous-espace propre revient à résoudre un système. ) Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 12 5.1. Temps de travail prévu : 55 minutes. Dans , tous les polynômes sont scindés ! Par exemple sur l'espace ℒ(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H sur K = ℝ ou ℂ, la symétrie qui à chaque opérateur associe son adjoint est toujours ℝ-linéaire, et diagonalisable en tant que telle : les opérateurs hermitiens et antihermitiens forment deux sous-espaces vectoriels réels supplémentaires (topologiques). = i 3) Si la multiplicité de chaque racine correspond à la dimension du sous-espace propre, alors la matrice est diagonalisable et en regroupant les bases obtenues précédemment on forme la matrice P. On forme ensuite la matrice D comme vu ci-dessus. matrice P qui represente notre changement de variables.´ Enfin, pour terminer la diagonalisation, on calcule l’inverse de P (P est toujours inversible, il s’agit donc d’utiliser la formule vue a l’exercice 1. X On cherche les (x – 3)2(x + 7)(x – 4)9 est scindé mais n’est pas à racines simples. En effet, si on a une valeur propre λ associée au vecteur propre X, on a : Le vecteur propre et la valeur propre sont reliés par cette égalité. Nousallonsénoncerdesconditions qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable. Ainsi, 4 est racine double du polynôme caractéristique et dim(E4) = 2, et on a vu que 2 est racine simple avec dim(E2) = 1 : la matrice M est donc diagonalisable ! Dans ce cas, il y a plusieurs valeurs propres λi, avec chacune une multiplicité m(λi), et un sous-espace propre associé Eλi. Diagonalisation : exercices BCPST 2 13/14 Exercice 1 On consid ere les matrices Aet Psuivantes : A= 0 @ 11 5 5 5 3 3 5 3 3 1 A et P= 0 @ 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 A: 1) D emontrer que Pest inversible et d eterminer P 1. On peut supprimer la dernière ligne qui est la même que la première : On retrouve bien une droite vectorielle, de dimension 1. Si l’on a une matrice M, diagonaliser cette matrice revient à chercher une matrice diagonale D ainsi qu’une matrice inversible P telle que : Autrement dit, on cherche une base dans laquelle la matrice M est diagonale. − λ est une valeur propre de M si et seulement si M – λ Id n’est pas inversible. Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Nous reprenons pas à pas les notions du chapitre « Valeurs propres, vecteurs propres », mais du point de vue plus théorique des applications linéaires. Ainsi, après avoir calculé le polynôme caractéristique et trouvé les valeurs propres, il faut factoriser le polynôme afin de connaître la multiplicité de chacune d’elle. 3 Parlons maintenant des sous-espaces propres. (x – 3)(x + 7)(x – 4) est scindé à racines simples La fonction eigen renvoie une liste composées de 2 éléments : 0 − I i tels que : — − Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. diagonalisation d'une matrice réelle symétrique utilisant les matrices. En particulier : - Si la matrice M est sym etrique alors elle est diagonalisable. Ces sous-espaces propres étant des espaces vectoriels, ils ont une dimension, et on peut trouver une base constituée par définition d’autant de vecteurs que la dimension de cet espace. ) Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! On rappelle qu’un sous-espace propre d’une valeur propre λ est noté Eλ et est l’ensemble constitué des vecteurs propres d’une valeur propre ainsi que du vecteur nul. ) 2 Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. − Si tel est le cas, on prend une base de ce sous-espace et les vecteurs de cette base constituent la matrice P. La matrice D n’est donc composée que de λ sur sa diagonale : (retiens bien cette démonstration, elle est facile et peut t’être demandée en exercice…). ( ) ( {\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}} Espace propre associ e a une valeur propre 13 … 0 – soit le polynôme caractéristique est scindé, et alors la matrice PEUT être diagonalisable, mais pas forcément. T.S.V.P → Pour trouver ces vecteurs propres, on va tout simplement résoudre un système obtenu grâce à l’égalité MX = λ X. 1 La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. } Diagonalisation des matrices et réduction des endomorphismes Etant donnés un espace vectoriel , et un endomorphisme de , on sait qu'une matrice de dépend de la base de dans laquelle elle est exprimée. ( Diagonalisation des matrices et réduction des endomorphismes. — C’est le cas que l’on a vu précédemment : — Le cours se divise donc en 2 grandes parties : - Montrer qu'un endormorphisme ou qu'une matrice est diagonalisable - Diagonaliser effectivement cet endormorphisme ou cette matrice Pour cela nous déterminons les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres aussi appelés éléments propres. T Pour que la matrice soit diagonalisable, il faut (et il suffit) que la dimension de chaque sous-espace propre soit égale à la multiplicité de la valeur propre : — Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. ( A On calcule le polynôme caractéristique : Un rapide calcul (tu peux t’entraîner à le faire) montrerait que les racines du polynôme sont -1 et 3, donc les valeurs propres de A sont -1 et 3 ! Prenons un exemple : soit la matrice M de taille 3 x 3 suivante : Une étude préalable nous permettrait de montrer que les valeurs propres sont 1 ; 2 et -4 : on a donc bien 3 valeurs propres distinctes d’un espace de dimension 3, donc M est diagonalisable. 2 ) , donc cette matrice est diagonalisable. Cependant : Si une famille = = ( 6 est racine triple (autrement dit 6 est racine de multiplicité 3 : m(6) = 3) 0 On peut combiner les 2 cas particuliers ! En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. 2 Cas particulier : une seule valeur propre. 0 Mais avant cela, voyons un cas particulier. A Voyons maintenant comment calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés. ⁡ 2 Toujours en dimension quelconque, soit s une symétrie, c'est-à-dire un endomorphisme involutif : s2 = id. Si on a par exemple det(A – λ Id) = (λ – 4)2(λ – 6)3(λ + 7) : MX = 4X (car λ = 4). De plus, une valeur propre possède plusieurs vecteurs propres. Par exemple : On pourrait aussi imaginer que dans P on ne mette pas X et Y l’un à côté de l’autre mais comme ils font partie du même sous-espace propre cela a peu d’intérêt (mais c’est mathématiquement faisable). {\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}} D’où λ1X = λ2X, d’où λ1 = λ2, ce qui contredit le fait que λ1 et λ2 soient différentes. Mais il est judicieux de factoriser le polynôme caractéristique à partir de ses racines. A Cela arrive quand le terme (λ – a) est à une certaine puissance, cette puissance est appelée la multiplicité de la racine, et est noté m(a). i Il s’agit d’une matrice triangulaire, donc les valeurs propres sont 4 et 3. En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. La matrice , en tant qu'élément de , est donc diagonalisable ; elle est semblable (dans ) à la matrice . Si oui, la diagonaliser. Attention qu’ici un sous-espace propre ne peut être de dimension 3 car l’autre étant au moins égal à 1, la somme serait au moins de 4, ce qui contredit une propriété vue précédemment (la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à n). A noter qu’un vecteur propre est nécessairement NON NUL !!! I En fait, M est la représentation matricielle d’un endomorphisme dans une base E, et D la représentation de ce même endomorphisme dans une base F. P est donc la matrice de passage de E dans F (voir le chapitre sur les matrices de passage pour plus de précisions). 1 De la même manière que l’on regroupe l’ensemble des vecteurs propres d’une même valeur propre, on regroupe l’ensemble des valeurs propres d’une même matrice. Dans le même ordre que celui des vecteurs propres pour la matrice P ! Initialisation d'une matrice rectangulaire [modifier | modifier le wikicode] Les matrices sont créées à partir d'un vecteur : les valeurs sont prises une par une pour remplir le tableau, colonne par colonne. Un sous-espace propre est un espace vectoriel, il est souvent noté Eλ s’il est associé à la valeur propre λ. est diagonalisable. λ est une valeur propre de M s’il existe un vecteur X non nul tel que MX = λX. ) Valeurs propres d’un endomorphisme 12 5.2. 1 Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : Exercice 2 Soit . Puissance d’une matrice semblable. = Remarquons d'abord que si M est conjuguée à une matrice diagonale D par le biais d'une matrice U ∈GL n, U−1MU = D alors les coe cients diagonaux de D sont des aleursv propres de M et les vecteurs colonnes de U sont des vecteurs propres de M. Réciproquement, si U est une matrice inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres de C’est une condition su sante mais pas n ecessaire; en e et, la r eciproque (qui serait \si la matrice est diagonalisable alors elle D’où la propriété : — ) T = Nous verrons plus tard comment calculer les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres associés, mais voyons d’abord certaines propriétés liées à la diagonalisation. Lorsque c’est le cas, les diagonaliser. Exercice 1 Soit . I Vect (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Il faut tout d’abord remarquer que toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. avec α, x1, x2… éléments de , et n le degré de P. Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. 1 {\displaystyle U={\begin{pmatrix}3&1&1\\2&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}}.}. ( Comme précédemment, c’est une matrice diagonale avec sur sa diagonale les valeurs propres. Soit M 2M n(K) une matrice carr ee a coef- cients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable a M s’il existe une matrice inversible Pd’ordre ntelle que M0= P 1MP: Proposition 1. Soit M2M —. … Les projecteurs sur les deux sous-espaces propres correspondants (supplémentaires l'un de l'autre) sont p et id – p. Si l'espace est normé (ou plus généralement si c'est un espace vectoriel topologique) et si p est continu, ces deux sous-espaces sont donc même supplémentaires topologiques. En effet, supposons que vecteur X soit associé à deux valeurs propres différentes λ1 et λ2. Comme M est de taille 3 x 3, X est un vecteur colonne 3 x 1 : Ce qui se résume finalement à une seule équation : z = -x, soit x + z = 0 Si en revanche on trouve qu’un sous-espace propre n’a pas la même dimension que la multiplicité de la racine, alors cela ne sert à rien de continuer car la matrice ne sera pas diagonalisable (enfin tu peux continuer évidemment mais tout dépend de la question de l’énoncé : si tu cherches juste à savoir si la matrice est diagonalisable ou non, cela ne sert à rien de continuer).