{\displaystyle \rho } 2 - Moment polaire d'une surface par rapport à G. I0 = IGy + IGz. c 1 {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} β , tous les éléments sont à la même distance de l'axe donc : Soit l'axe z ¯ {\displaystyle \sum _{i}m_{i}=M} 4 Dans le cas d'un cylindre de rayon , 2 Par suite parallèle à et extérieur α {\displaystyle {\vec {n}}} Dans le cas où la distribution de masse est à symétrie sphérique tous les moments principaux d'inertie sont égaux, et alors ( Cette situation est très différente d'une distribution de charges, où du fait des différences de signe les « centres de charge » positif et négatif ne coïncident pas toujours, et donc le terme dipolaire ne peut pas être éliminé par un simple choix d'origine. Par suite, deux des moments principaux d'inertie sont égaux et le tenseur d'inertie prend dans cette base la forme suivante: Le potentiel de gravitation créé par une distribution quelconque de points matériels m Tout axe de symétrie matérielle est axe principal d'inertie; Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est axe principal d'inertie; La dernière modification de cette page a été faite le 22 janvier 2021 à 14:38. moment d'inertie par rapport à l'une de ses bases paral­ lèles. Le second terme correspond à une somme dans lequel chaque terme correspond au produit d'un scalaire (la masse mi) par i [16], l'axe principal d'inertie selon Oz correspondant pratiquement à son axe de rotation. s'écrit: Il est possible d'exprimer par exemple la composante suivant x en coordonnées cartésiennes, ce qui donne : Dans cette expression, les facteurs entre parenthèses représentent respectivement le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Ox, noté c Dans le cas d'une toupie symétrique, il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, et dans le cas d'une toupie sphérique, d'une sphère. 1 = → ρ {\displaystyle \rho ({\vec {r}})} i ( I , le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire au plan du carré est, en son centre : Ici, et de densité linéique (masse par unité de longueur) i O en fonction de  : Pour une sphère creuse, comme pour la boule, les moments d'inertie passant par son centre sont égaux. , et deux termes homogènes à un moment d'inertie, appelés produits d'inertie, notés Toutefois, la définition précédente peut s'étendre à un système déformable, dès lors qu'il ne présente pas de rotation différentielle, ou que l'on peut négliger l'effet de celle-ci, de façon à ce qu'il soit possible de considérer que tous les points du système ont à un instant donné la même vitesse angulaire. Plaque rectangulaire (a,b) de masse m Parallélépipède rectangle (a,b,c) de masse Cerceau de masse m de rayon r : Disque de masse m de rayon r : Enveloppe cylindrique de masse m, rayon r, … → et , ce qui permet de mettre également en évidence une grandeur ne dépendant que de la géométrie des masses du solide, et généralisant la notion précédente, qui ne se réduit cependant plus à une grandeur scalaire mais sera représenté par un tenseur, le tenseur d'inertie (appelé aussi opérateur ou matrice d'inertie). {\displaystyle E_{c}^{*}} Il s'exprime dans le Système international en m 4 (mètre à la puissance 4).. ρ par rapport à une origine O génère en ¯ ρ ω Il est facile de montrer que ⋅ Ces écarts sont évidemment liés à la répartition de la matière au sein de la distribution de masse, et donc doivent être (au moins pour les premières corrections) en relation avec le tenseur d'inertie de la distribution (assimilée à un solide parfait dans la suite) : de fait il est possible de montrer facilement que la première correction non nulle au potentiel sphérique fait intervenir une grandeur tensorielle, le tenseur de moment quadrupolaire de la distribution de masse, dont les composantes s'expriment de façon simple en fonction de celles du tenseur d'inertie. → 488 Pages. a ¯ = ( constant) et de masse Dans le cas d'un rectangle de grand côté i ( Pour les volants d'inertie une seule formule surnage: Moment d'inertie d'un disque plein: Ja=1/2 m*R2. = L r En effet en présence de tels éléments certains produits d'inertie, par nature impairs par réflexions, s'annulent, ce qui permet de diagonaliser facilement la matrice représentant , le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire au plan du rectangle (ici l'axe Oz) est, en son centre : Ici, Son seul intérêt serait de rappeler qu'il s'agit d'une unité spécifiquement rattachée au mouvement de rotation, comme pour toutes les unités où le radian apparaît. {\displaystyle \cos \theta _{i}={\frac {{\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}}{rr_{i}}}} J 2 2 On peut cependant remarquer que dans la relation ¯ Soit une tige de masse m et de longueur l: 2 Oz 3 ml J = et et 2 Gz 12 ml J = Soit un cerceau de masse m et de rayon R: 2 J Oz = mR Soit un disque plein de masse m et de rayon R: J 2 Oz 2 mR 4 {\displaystyle I_{1}=I_{2}\neq I_{3}} ) et ainsi G1 coïncide avec G. Le point G est dès lors défini sans ambiguïté; on l’appelle “centre de masse ”, ou encore “centre d’inertie”, ou “barycentre”. → β 3 ( π {\displaystyle I_{\mathrm {O} x}} , le moment d'inertie selon l'axe du cylindre est : Soit l'axe {\displaystyle M} x ¯ Dans le cas d'un mouvement de translation, l'énergie cinétique d'un point de masse m est donnée par la formule E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}} . Le dispositif accouplé sur l'arbre d'un moteur est souvent plus compliqué qu'un simple cylindre en rotation, on définit alors le moment d'inertie équivalent « vu » par le moteur comme celui d'un dispositif « simple » qui produirait le même effet que le dispositif accouplé. la masse volumique, par lui-même, donc celles d'un tenseur. {\displaystyle \Delta } {\displaystyle x_{i,1}=x_{i},x_{i,2}=y_{i},x_{i,3}=z_{i}} r {\displaystyle I_{\alpha \beta }} Ces écarts sont évidemment liés à la répartition de la matière au sein de la distribution de masse, et donc doivent être (au moins pour les premières corrections) en relation avec le tenseur d'inertie de la distribution (assimilée à un solide parfait dans la suite) : de fait il est possible de montrer facilement que la première correction non nulle au potentiel sphérique fait intervenir une grandeur tensorielle, le tenseur de moment quadrupolaire de la distribution de masse, dont les composantes s'expriment de façon simple en fonction de celles du tenseur d'inertie. M {\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}=0} Il découle des relations précédentes que dans le cas général le moment cinétique propre du système n'est pas colinéaire à l'axe instantané de rotation, les relations précédentes généralisant celles obtenues dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe[7]. = Surface de peinture. affectés d'une masse volumique → ω β Du fait de son caractère symétrique il est toujours possible de choisir un système d'axe tel que la matrice représentant M i Il est possible de montrer compte tenu des expressions précédentes des produits d'inertie les propriétés suivantes[12] : Ainsi un cylindre homogène a pour axes principaux d'inertie son axe ainsi que tout axe qui y est perpendiculaire, passant par son centre. I r → {\displaystyle (\rho _{x},\rho _{y},\rho _{z})} est donné par : en posant soit diagonale[10]: de tels axes sont dits axes principaux d'inertie. Remarques: 1)Il peut être utile de traiter certains problèmes en y admettant partiellement des points Par exemple un système articulé, constitué de plusieurs solides reliés entre eux par des liaisons, en rotation autour d'un axe fixe, si les vitesses angulaires de rotation entre les diverses parties sont petites devant la vitesse angulaire de rotation « globale ». Ils peuvent cependant ensuite sauter sur le tourniquet en mouvement, puis se positionner en son centre, augmentant ainsi significativement la vitesse de rotation initialement obtenue. Soit un axe Δ et d la distance entre Δ et G. La formule suivante donne la relation entre le moment d'inertie par rapport à Δ et celui par rapport à l'axe parallèle à Δ mené par G. I Δ = I ΔG + md. En calculant comme précédemment le moment d'inertie, on retrouve la relation établie par Christian Huygens connue sous le nom de théorème de transport[18] ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner ou théorème des axes parallèles qui donne le moment d'inertie {\displaystyle \phi _{i}({\vec {r}})} j = , Toutefois, étant défini comme le rapport de deux longueurs, le radian, considéré comme unité dérivée du système international depuis la 20e conférence générale du BIPM[2], est sans dimension, par suite ceci n'affecte pas l'homogénéité de l'équation aux dimensions de l'expression de l'énergie cinétique. Le moment cinétique propre I R ≠ et Il s'agit là d'un système déformable, mais pour lequel on peut considérer que la vitesse angulaire de rotation à un instant donné est la même pour tous les points du système, cf. MOMENTS D’INERTIE DE SOLIDES USUELS On considère que pour tous les solides ci – dessous, la répartition de la masse est homogène en surface ou en volume. Δ ∗ , le corps est qualifié de toupie symétrique, et si tous les moments principaux sont égaux, de toupie sphérique. m = Q {\displaystyle R} {\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}} , M {\displaystyle \sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}} 87. ¯ , , le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire à la barre est, en son centre : Ici, {\displaystyle b} 3 ¯ {\displaystyle L_{x}} ¯ n Sa valeur dépend de la géométrie de la distribution de masse par rapport à l'axe de rotation. = 3 ¯ Δ , Cette notion n'a plus en général aujourd'hui qu'un intérêt historique, toutefois il est intéressant de remarquer que les axes principaux d'inertie sont les axes principaux de l'ellipsoïde d'inertie. ¯ I ϕ 1 {\displaystyle d} x devient : Le potentiel créé par la distribution en M est égale à la somme des potentiels Une planète comme la Terre se comporte comme une toupie symétrique pour laquelle ) r i x {\displaystyle {\vec {n}}} parallèle à i → Formulaire de mécanique Pièces de constructions génie mécanique. x i ⁡ Toutefois, pour un système déformable le moment d'inertie n'est plus constant dans le temps. E i = Or il s'agit là des composantes du tenseur résultant du produit tensoriel du vecteur Modules de résistance. ⋅ Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse. et de centre 3 β y {\displaystyle \,} dans lequel {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} {\displaystyle R_{1}} Les moments d'inertie correspondants sont appelés moments principaux d'inertie, et sont notés Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse. peut être isolée des expressions de l'énergie cinétique ou du moment cinétique de rotation, c'est-à-dire que dans la mesure où la vitesse angulaire est la même pour les points du système à un instant donné. {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} {\displaystyle b} Cependant, la forme rectangulaire est très courante pour les sections de poutre, il vaut donc probablement la peine de mémoriser. → En l'occurrence, si son rayon est Il découle des relations précédentes que dans le cas général le moment cinétique propre du système n'est pas colinéaire à l'axe instantané de rotation, les relations précédentes généralisant celles obtenues dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe[7]. ne dépend que de la géométrie des masses du solide. Définition scalaire d'un moment d'inertie. , on se ramène au cas du carré. I exprime une masse volumique (masse par unité de volume). 2 . {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} α = h R x soit diagonale[10]. Il est clair que E I i M ∑ {\displaystyle \sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}} est le moment quadrupolaire de la distribution de masse: Les axes principaux d'inertie, pour lesquels la matrice représentant θ O Un élément de symétrie (point, axe, plan) matérielle est non seulement un élément par rapport auquel le solide est géométriquement symétrique, mais aussi pour lequel sa masse volumique présente la même symétrie. Moment d’inertie 4.3.1. Ixx=∫y2dA moment d’inertie suivant l’axe XX en cm^4 Iyy=∫x2dA moment d’inertie suivant l’axe YY en cm^4 Changement d’axe (avec axes parallèles) : IYY=IG+Sd2; le moment d’inertie d’une surface par rapport à un axe quelconque est égal au moment d’inertie de cette surface par un axe m exprime une masse surfacique (masse par unité de surface) pour une surface homogène, elle ne dépend donc pas de x et y. Remarquons que si I x est le polynôme de Legendre d'ordre k. Comme r>>ri il est possible de se limiter aux 3 premier termes, ce qui donne : ce qui compte tenu de I {\displaystyle J_{\Delta '}} ′ ( R1 2 - 2 2) Cylindre annulaire mince J = M . I ⋅ → → et . Δ Avec les … Continuer la lecture → {\displaystyle \rho } I ¯ Q ⋅ → {\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\overrightarrow {OM_{i}}}} Il y a un nombre infini de combinaisons selon la forme du solide, le placement de son axe et son homgénéité. {\displaystyle h} Divers cas sont à définir, selon:-la densité de la masse m (qui est répartie soit ponctuellement, soit linéairement, soit superficiellement, soit volumiquement) {\displaystyle E_{c}^{*}} → i ne dépend que de la géométrie des masses du solide. ¯ R Dans le cas d'une toupie symétrique, il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, et dans le cas d'une toupie sphérique, d'une sphère. 3 h , le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire au plan du rectangle (ici l'axe Oz) est, en son centre : Ici, I Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. ¯ ρ ¯ Comme c'est la première fois que j'entends utiliser cette expression je déduisis que … i = ( 5.2.3 Formulaire d’une poutre bi-encastrée. = → De même, les enfants jouant à mettre en rotation un tourniquet en courant à ses côtés atteignent une vitesse de rotation limitée par leur course. Remarque: Les moments quadratique et polaire de surfaces plus complexes (comme les profilés) se trouvent dans les catalogues constructeurs, se calculent par décomposition de la surface, ou se déterminent à l'aide de logiciels de CAO-DAO. Or le mouvement général d'un solide par rapport à un référentiel (R) quelconque peut se décomposer en celui de son centre d'inertie C (affecté de la masse totale du système) et un mouvement de rotation propre autour de C dans le référentiel lié à ce point, en translation par rapport à (R), appelé référentiel barycentrique (noté (R*))[5]. 4.3. Pour une sphère pleine et homogène de rayon → n ′ Or il s'agit là des composantes du tenseur résultant du produit tensoriel du vecteur moment d'inertie par rapport à l'une de ses bases paral­ lèles. {\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho } → ∑ En général un solide quelconque possède trois moments principaux d'inertie différents, il est appelé toupie asymétrique[11]. Moment d'inertie équivalent. α → , De façon générale à grande distance d'une distribution de masse le potentiel créé peut se mettre sous la forme d'un développement multipolaire : chaque point matériel constituant la distribution (de masse totale et This article uses material from the Wikipedia article i ¯ et i Dans le cas d'un parallélépipède de hauteur Pour les exemples suivants, nous considérerons des solides homogènes ( ¯ Soit un solide S de masse m Soient (Δ) un axe de ce solide S, Q un point quelconque de cet axe et δ un vecteur unitaire orientant cet axe.. Soit P un point courant de ce solide, de masse dm situé à la distance courante r de l. Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, de direction donnée par le vecteur unitaire O {\displaystyle O} R2 Cylindre plein transverse J = 1 4. : Le rotor présente ainsi tant un bon refroidissement qu'un faible moment d'inertie. Un élément de symétrie (point, axe, plan) matérielle est non seulement un élément par rapport auquel le solide est géométriquement symétrique, mais aussi pour lequel sa masse volumique présente la même symétrie. Le moment d}inertie du triangle par rapport au point de concours H des hauteurs étant donné par on trouve, en remplaçant GH par sa valeur {H2— 9 que JH= 4MR2— — S. , et chacun des trois termes se met alors sous la forme : Ce dernier terme est donc la première correction, a priori non nulle, traduisant la non-sphéricité à grande distance du potentiel de gravitation créé par une distribution de masse. J Par définition le moment d'inertie par rapport à un axe d'un point matériel de masse située à une distance de est :. {\displaystyle x} 3 authors in Wikipedia, This website uses tracking mechanisms by using technically not necessary cookies in order to offer and constantly improve its services, and to provide individual offers. M {\displaystyle \mu } Ceci n'est valable strictement que dans le cas du modèle du solide indéformable. i {\displaystyle E={\frac {1}{2}}J_{\Delta }.\omega ^{2}} , le corps est qualifié de toupie symétrique, et si tous les moments principaux sont égaux, de toupie sphérique. i x L i , la vitesse de rotation ω n'est pas exprimée en s−1, mais en rad⋅s−1. Moment quadratique d'un triangle par rapport à l'axe (Oz) Grâce à la formule de Huygens, on a : Démonstration du moment quadratique d'un triangle par rapport à … {\displaystyle {\vec {r}}_{i}} {\displaystyle T_{i,\alpha \beta }=x_{i,\alpha }x_{i,\beta }} E exprime une masse linéique (masse par unité de longueur). ) I , et deux termes homogènes à un moment d'inertie, appelés produits d'inertie, notés , et chacun des trois termes se met alors sous la forme : Ce dernier terme est donc la première correction, a priori non nulle, traduisant la non-sphéricité à grande distance du potentiel de gravitation créé par une distribution de masse. Le moment d'inertie des autres formes est souvent indiqué au recto / verso des manuels ou dans ce guide de moment d'inertie des formes. 3 - Cas courants de IGz et I0. I 2 {\displaystyle \Delta } est effectivement un tenseur. 2 , et de hauteur 0 M Par exemple un système articulé, constitué de plusieurs solides reliés entre eux par des liaisons, en rotation autour d'un axe fixe, si les vitesses angulaires de rotation entre les diverses parties sont petites devant la vitesse angulaire de rotation « globale ». De même, on a : 3 Ma2 IΠYZ= et 3 Mb2 IΠXZ=. ρ Δ I I {\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}} La présence d'éléments de symétrie matérielle simplifie grandement la recherche des axes principaux d'inertie. ρ z ¯ i E Matrice d’inertie de quelques solides, cylindre, sphère. ). Moment quadratique polaire en G : I 0 = ∫ ( y 2 + z 2 )ds = I Gy + I Gz Figure 1 : sections simple de poutres 2) FORMULAIRE POUR QUELQUES SECTIONS SIMPLES. Et là, silence dans la salle…. {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} = est l'angle entre , ¯ : ce résultat est physiquement évident, et en fait dans ce cas tous les termes d'ordre supérieur du développement multipolaire précédent sont également nuls. Pour les exemples suivants, nous considérerons des solides homogènes ( i {\displaystyle {\vec {\omega }}(t)} There is a list of all → ¯ R {\displaystyle h} I ( A2 + B2) Sphère pleine J = 2 5. S. Cescotto (point 3.B. 3 Dans le cas d'une barre de section négligeable et de longueur {\displaystyle I={\vec {n}}\cdot ({\bar {\bar {I}}}{\vec {n}})} ⇒ Déterminer expérimentalement la période T 1 des oscillations. ( Produit d 'inertie: Formule trigonométrique: 2sin a cos a = sin 2a sin 20' da = —Y cos 2a Ixy= p3 sin a cos = sin 2ada si [cos 2a]oŒ = — Lry=— Q = {\displaystyle \rho } θ i ρ Pour un corps rigide en rotation, cette résistance à toute modification de son état est appelée son moment d'inertie. Modules de résistance. {\displaystyle J_{\Delta }} β , 1 Il ne serait cependant pas faux que le moment d'inertie soit exprimé en kg⋅m2⋅rad−2, mais ce choix est rarement retenu en pratique. {\displaystyle \rho ({\vec {r}})} ∗ De même, les enfants jouant à mettre en rotation un tourniquet en courant à ses côtés atteignent une vitesse de rotation limitée par leur course. 2 {\displaystyle R_{2}} {\displaystyle a} Il s'exprime dans le Système international en m 4 (mètre à la puissance 4).. = r ) ¯ i exprime une masse surfacique (masse par unité de surface) pour une surface homogène, elle ne dépend donc pas de x et y. Remarquons que si b=c, on se ramène au cas du carré. M i P ¯ ¯ On peut cependant remarquer que dans la relation se met sous la forme suivante[8]: Le premier terme est le produit d'un scalaire (le moment d'inertie par rapport au point O, → passant par le centre de masse de l'objet, et un axe M ¯ i Bonjour, Ça fait un bail que mes formulaires de mécanique sont passés chez Gibert Jeune! x tenseur (ou opérateur) d'inertie, qui est défini par: expression dans lesquels les éléments diagonaux sont les moments d'inertie du solide par rapport aux divers axes, et les éléments non diagonaux sont les produits d'inertie.